9: Tangrams amb trampa

Problema 9

El tangram és un trencaclosques d’origen xinès —aquest sí, n’hi ha molts d’altres que s’han venut com a xinesos que no ho són—, que consisteix en set peces amb les quals es poden formar diverses figures.
En particular poden formar un quadrat, i d’una sola manera, llevat de girs i simetries.

Els set tangrams dins una caixa, en la seva configuració quadrada

 Sovint el trencaclosques consisteix a reproduir amb les peces una forma que representa d’una manera més o menys fidel un ésser viu o un objecte, però aquí ens interessarem més per les formes geomètriques.
A diferència d’altres trencaclosques com per exemple els pentominós, els tangrams són arbitraris: no són totes les formes que gaudeixen d’una determinada propietat sinó un conjunt escollit per altres motius, des de la facilitat de construcció al fet de poder-se empaquetar en forma de quadrat.
Cinc dels tangrams són triangles, dos de grans un de mitjà i dos de petits, una altre un quadrat, i el darrer un romboide, que és l’única peça que no és igual a ella mateixa si la posem cap per avall, té dues orientacions. Totes les peces són múltiples del triangle més petit: el triangle mitjà, el quadrat i el romboide es poden formar amb dos triangles petits, i els triangles grossos amb quatre. L’àrea total és igual a setze triangles petits.
Alguns trencaclosques poden ser força difícils, per exemple, construir tos els pentàgons possibles amb les set peces: n’hi ha 53 de diferents, dos d’ells convexes, i 51 còncaus.
El problema que proposo aquí és molt més fàcil però té trampa…

Dotze configuracions amb una determinada propietat

A la figura hi podem veure 12 configuracions de tangrams que tenen una propietat en comú. No són totes les possibles, en falta alguna.

Tres possibles solucions

 A la presumpta solució veiem tres possibles configuracions més que podrien ser les que ens manquen, però hi ha gat amagat, no és la solució vàlida.
Quina és la propietat en comú?
Quines són les configuracions que manquen?
Per què no són bones les tres solucions de la segona figura, on és la trampa?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

8: Un núvol de punts

Problema 8 

Marquem tres punts —X, Y i Z— que formin els vèrtexs d’un triangle equilàter.

Escollim ara un punt al atzar de l’interior d’aquest triangle, per exemple el que marquem amb el número 1 a la figura.

Els primers dotze punts de la figura

Aleshores escollim al atzar un dels tres punts inicials. En el nostre exemple Y. Marquem ara amb el número 2 el punt mig entre 1 i Y.

Continuem escollint al atzar qualsevol dels tres punts X, Y o Z, i anem marcant cada vegada el punt situat a mig camí entre el darrer punt i el vèrtex escollit.

En l’exemple de la figura la seqüència de vèrtexs és Y, Y X, Y, Z, Z, X, X, Y, Z, X… hi podem veure numerats els dotze primers punts. Insisteixo, és només un cas particular, la seqüència pot ser qualsevol al atzar i els punts aleshores serien uns altres.

Imaginem que continuem el procés fins col·locar uns quants milers de punts a la figura.

Nou possibles respostes al problema

A quina de les nou imatges s’assemblarà més el núvol de punts resultant d’aquest procés?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

7: Un text xifrat

Problema 7 

La criptografia és la tècnica —o art— de transformar un missatge en un seguit de signes que si són interceptats sigui difícil, o fins i tot impossible, esbrinar el missatge original.

Durant molts segles es van emprar mètodes que amb les tècniques modernes serien molt fàcils de desxifrar. Fins i tot durant la II Guerra Mundial, el mètode de xifratge del Reich alemany que emprava unes màquines anomenades “Enigma” i que només va ser trencat emprant una gran quantitat de mitjans humans i tècnics, seria molt fàcil de trencar amb els ordinadors actuals.

El mètode més antic que es coneix rep el nom de Juli Cèsar, que segurament el va emprar. Consisteix en substituir cada lletra del alfabet  per la lletra que hi ha n posicions més endavant, continuant comptant a partir de la A, si arribem al final del alfabet. Per exemple, si fem servir n = 4, la A es convertirà en E, i la X en B. És un mètode molt fàcil de desxifrar, i si Juli Cèsar el va emprar amb èxit, segurament va ser perquè el seus enemics gairebé no sabien llegir.

Un mètode quasi tan elemental com aquest, és el de substituir cada lletra per un dibuixet diferent. Aquí cal esbrinar a quina lletra correspon cada signe. Recordo haver vist fer servir aquest sistema entre els nois de l’escola…

Si, a més es mantenen els espais entre les paraules o els signes de puntuació, encara és més fàcil ja que paraules d’una o dues lletres n’hi ha poques.

Però aquí, per complicar-ho una mica, farem com Juli Cèsar, que com tots els romans escrivia sense espais; en el text els he suprimit, com també accents i altres signes de puntuació. Els signes estan disposats en grups de cinc, senzillament per llegibilitat.

Text xifrat, sense espais però en grups de 5 caràcters per facilitar la lectura

Podeu desxifrar aquest text? I encara que no tingui res a veure amb la criptografia, esbrinar —és fàcil— qui és el seu autor?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ PISTES ★★★

6: El mapa dels quatre colors al cel

Problema 6

A mitjans del segle XIX un jove universitari britànic es va entretenir un dia acolorint el mapa dels comtats anglesos, de manera que dos que compartissin frontera mai no fossin del mateix color. Va aconseguir amb certa facilitat fer-ho amb només quatre colors, i també va veure que amb tres era impossible.

Aleshores es va preguntar si qualsevol mapa es podria acolorir d’aquesta manera amb només quatre colors. En tots els mapes que ho va provar, ho va aconseguir, però no va trobar cap sistema per demostrar-ho.

Un mapa acolorit amb quatre colors.

 El problema va arribar a les orelles dels matemàtics professionals —el primer que se’n va ocupar va ser Augustus de Morgan— que tampoc no van aconseguir la demostració.

Alguns avenços sí que es van fer: es va demostrar que no era possible que cinc regions compartissin frontera cadascuna amb les altres quatre, que amb cinc colors sempre era possible acolorir qualsevol mapa, que un mapa sobre una esfera era equivalent en aquest aspecte a qualsevol mapa pla, i fins i tot, que sobre d’altres superfícies el nombre de colors necessaris podia ser superior. Per exemple, sobre un tor —la figura en forma de pneumàtic— son possibles set regions que dos a dos comparteixin frontera i va ser possible demostrar que amb 7 colors és sempre possible acolorir qualsevol mapa pintat sobre aquesta superfície. Però l’esfera i el pla es resistien.

124 anys després es va demostrar, però no va ser una demostració “normal”, amb llapis i paper, sinó que va precisar un ordinador que comprovés totes i cadascuna d’uns milers de configuracions de regions, anomenades irreductibles, en les quals es pot transformar mantenint el problema, qualsevol configuració.
No ho hem esmentat, però quan aquí parlem d’un mapa dividit amb regions, volem dir un mapa simple: on cada zona estigui envoltada per una línia fronterera simple, no s’hi valen els “països” dividits en dues o més zones. També cal la condició que si més de tres regions conflueixen al mateix punt, es consideri que les que només entren en contacte en aquest punt, no són veïnes, o sigui que el veïnatge necessita compartir una línia, no tan sols un punt.

Dos mapes que precisen 5 colors

Sense aquestes condicions, poden caldre més de quatre colors per pintar un mapa.
Per exemple, al mapa de l'esquerra, imaginem que les dues zones blaves marcades A, són el mateix país; B, C i D hauran de ser de colors diferents ja que toquen A i també entre elles; però aleshores, E necessita un cinquè color, ja que té frontera comú amb A, B, C i D que ja són de quatre colors diferents.
En el mapa de la dreta, si consideréssim veïnes W i Y, i també X i Z, ja ens caldrien quatre colors per a aquestes zones; aleshores V, que les toca a totes, precisaria un cinquè color.
Aquests aclariments són necessaris pel problema que plantegem.
Fins a principis del segle XX, les constel·lacions van ser conjunts d’estrelles que d’una manera més o menys vaga recordaven un objecte, personatge o sovint animal. La seva representació, moltes vegades, incloïa superposat el dibuix corresponent coma a referència mnemotècnica, encara que més modernament es va substituir per unes poques línies representatives unint les estrelles més brillants.
Però a partir de 1930 es va anomenar constel·lació a una regió del cel, limitada per línies rectes que seguien els meridians i paral·les celestes i que incloïa l’antiga configuració d’estrelles.
Es van definir 88 constel·lacions que abasten tota la volta celeste. O sigui que qualsevol punt del cels està inclòs de manera unívoca en alguna de les 88 constel·lacions grans o petites i que es pot dibuixar un mapa del cel amb les fronteres de la mateixa manera que podem dibuixar un mapa del món amb els estats —prescindim ara dels mars—.

Les 88 constel·lacions del cel en projecció mercator (si surts per la dreta del mapa entres per l’esquerra)

Podem assegurar que aquest mapa es podrà acolorir amb quatre colors?

En principi no, perquè hi ha una anomalia, una de les constel·lacions —Serpens, marcada amb la vora groga— per motius històrics està dividida en dues zones. A més, posem la condició suplementària que als quatre punts —marcats en vermell— on conflueixen quatre constel·lacions, han de ser les quatre de colors diferents.

Podeu, amb aquestes condicions, acolorir el mapa del cel amb quatre colors?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

5: Disseccions de pentominós

Problema 5

Els 12 pentominós són una font inexhaurible de problemes.
(Aquí podeu trobar una pàgina específica amb més informació)

Els 12 pentominós dins d’un rectangle de 6 × 10 unitats

Un dels problemes més freqüents és  el de formar una determinada figura amb els diferents pentominós; aquí plantejarem un problema que en algun aspecte és l’invers: dividir un pentominó en parts que ajuntades d’una altra manera formin una figura diferent, per exemple un quadrat.

Els matemàtics de la Grècia clàssica ja van intuir, encara que no ho van explicitar mai, que qualsevol polígon —figura limitada per segments— es pot partir mitjançant rectes en un nombre finit de peces, que reunides convenientment formen qualsevol altre polígon de la mateixa àrea. Aquest fet es va demostrar —és relativament fàcil— a principis del segle XIX. Però la demostració no ens diu quin és el nombre mínim de parts en que podem descompondre una figura per formar-ne una altra de la mateixa àrea; aconseguir-ho amb un mínim de parts és un problema que pot ser força difícil.

En particular, és possible dividir cadascun dels pentominós en diverses parts, que disposades d’una altra manera formin un quadrat. Veiem-ne un exemple:

Dissecció del pentominó V en 4 parts que formen un quadrat

Quin és el menor número de trossos en que es pot dividir algun dels pentominós per formar un quadrat?

És possible dividir algun dels pentominós en quatre parts iguals que puguin formar un quadrat?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

4: Seixanta-quatre igual a seixanta-cinc?

Problema 4

Observen aquest quadrat format per quatre peces. La quadrícula ens permet veure que la seva àrea és 8 × 8 = 64 unitats quadrades.

Quatre peces formen un quadrat de 8 × 8

A continuació, reordenem les peces —les dues trapezoïdals les hem de girar 90º— per formar un rectangle. Si ara mesurem l’àrea podem veure que és de 5 × 13 = 65 unitats quadrades.

Les mateixes quatre peces formen un rectangle de 5 × 13

D’on ha sortit el quadrat suplementari?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★