dijous, 24 de febrer de 2011

15: Divisió en parts iguals


Problema 15
No es coneix cap mètode general que ens permeti dividir una figura en parts iguals, aquest és un problema  que s’ha de resoldre en cada cas particular aplicant mètodes heurístics.
Naturalment, que és més fàcil en dues dimensions que en tres, i més fàcil amb figures formades per unitats iguals
La figura de la fotografia està formada per dues peces iguals, formades cadascuna per setze quadrats de la mateixa mida, blancs i vermells. Les peces són reversibles, en el sentit que les podem posar cap per avall.

Una figura composta de dues peces iguals
Podeu esbrinar quina forma tenen?

Més figures:
Tres figures més que es poden dividir en dues d’iguals
Les tres figures —formades per quadrats iguals— de la segona fotografia també es poden dividir en dues parts iguals. Recordem que són reversibles, o sigui que una de les parts es pot haver de girar per composar la imatge del problema. Trobeu la divisió d’aquestes  tres figures.

★★★ COMENTARIS ★★★

dilluns, 21 de febrer de 2011

14: Jocs d’inducció

Problema 14
A finals dels anys cinquanta Robert Abbott va inventar un joc de cartes anomenat Eleusis. La idea bàsica era que cada jugador havia d’idear una regla i jugar les cartes amb conformitat amb ella; la resta de jugadors havien de descobrir aquesta regla.
El procés mental per jugar a aquest joc té molt a veure amb la inducció científica: a partir d’unes dades parcials deduir quina és la regla general que hi ha al darrera.
Sovint, examinant gràfics, diagrames, taules numèriques o qualsevol dels esborranys que he generat per crear o resoldre jocs matemàtics i que ja no recordo gaire de què anaven, m’he trobat en una situació similar al la del jugador d’eleusis, haver de deduir a partir del que veig quin era el problema, què són les dades que tinc al paper…
Cal, en ambdós casos, formular hipòtesis, desenvolupar-les i veure si són coherents amb el que estem estudiant. Sovint, n tenim ni idea ni tan sols de quin tema és la regla: pot ser des d’una qüestió del tot abstracta de les matemàtiques a quelcom a tenir que veure amb quelcom com el número de lletres d’una paraula.
Proposo aquí dos problemes d’aquest caire, un amb números i l’altre amb lletres:

Tres quadres númèrics amb diferents lògiques

Tenim aquí tres quadres amb els números naturals de l’1 al 25 ordenats dins d’ells de maneres diferents. En cada cas estan col·locats dins d’un quadrat de 5×5 amb lògiques completament diferents. Podeu explicar quines són les regles d’ordenació en cadascun dels casos? Puc remarcar aquí que a vegades, la lògica és única en el sentit que el que veiem és l’única solució a un problema concret, en altres casos és múltiple, les dades són simplement un dels casos que acompleixen una determinada regla.

Sis alfabets acolorits seguint diverses regles
Aquí veiem sis conjunts de lletres ordenades alfabèticament, en una tipografia concreta i en majúscules. En cada cas, les lletres estan pintades de colors seguint regles diferents. Cal esbrinar quines són aquestes regles d’acoloriment.

★★★ COMENTARIS ★★★

dimarts, 15 de febrer de 2011

13: Operacions ocultes

Problema 13
Reconstruir una operació, és un procés molt menys mecànic i força més divertit, que simplement construir-la. I pedagògicament és tan útil com poc emprat, llevat de trivialitats.
Moltes vegades sha doperar per eliminació: quines xifres no pot ser determinada marca?
També cal emprar la combinatòria: de tots els casos no eliminats, anar seguint les totes hipòtesis que ens restin, per rebutjar les que ens portin a contradiccions.
Tots aquests problemes, si estan ben construïts, tenen solució única, i això a vegades és una pista per trobar-la.
 
Una suma amb les xifres ocultes
En la suma de la figura, hem ocultat les xifres amb fitxes de colors. Cada xifra sempre l’hem tapat amb el mateix color i, recíprocament, cada color tapa una sola xifra concreta.
Podeu reconstruir la suma?

Una multiplicació amb les xifres ocultes
En la multiplicació de la figura, hem ocultat les xifres amb fitxes de colors. Cada xifra sempre l’hem tapat amb el mateix color i, recíprocament, cada color tapa una sola xifra concreta.
Podeu reconstruir la multiplicació?
Per si no es poden apreciar prou bé els colors, repeteixo les operacions amb lletres:

              A B C D E          L M N
                F G H E        ×   P R 
            E G J D H C        U T L U
          + D H G C D E      R V M S   
          C B K J D C B      R Y U U U

★★★ COMENTARIS ★★★

dimecres, 9 de febrer de 2011

12: La mateixa figura

Problema 12 
A la figura hi podem veure dos conjunts de peces de Lego: al l’esquerra tres peces en forma del pentominó U i a la dreta cinc trominós rectes.
Els dos grups tenen la mateixa àrea total, concretament 15 caselles.
Dos grups de figures formades amb Lego
El problema consisteix en trobar una figura que es pugui formar amb cadascun dels dos grups —sense tenir en compte els colors, naturalment—.

★★★ COMENTARIS ★★★
★★★ SOLUCIÓ ★★★

diumenge, 6 de febrer de 2011

11: Circuit de diferents distàncies

Problema 11 
Sobre una quadrícula, en el nostre cas de rajoles, hem col·locat vint-i-vuit monedes.
Suposem que la quadrícula és exacta, amb una distància unitat entre dos encreuaments contigus i que les monedes estan exactament ben posades a les interseccions.

28 monedes sobre la quadrícula
Les distàncies en línia  recta entre dues monedes varien entre 1 i aproximadament 18,6 que és la distància entre les monedes extremes de la figura. Algunes monedes estan separades d’altres, distàncies que són exactament números enters.
Es tracta de trobar dotze monedes que formin un circuit tancat, de manera que les seves distàncies —en qualsevol ordre— siguin tots els valors enters compresos entre l’1 i el 12. Circuit tancat vol dir que de la dotzena moneda passem a la primera.
El circuit pot passar per damunt de l’emplaçament d’una moneda que no hi formi part.
La condició suplementària és que aquest circuit no tingui cap creuament, dit d’una altra manera, que no tingui una forma equiparable a un 8.

★★★ COMENTARIS ★★★
★★★ SOLUCIÓ ★★★

dijous, 3 de febrer de 2011

10: Calendari de daus

Problema 10
A casa hi tinc un calendari, bàsicament com a objecte de decoració, que consisteix en dos daus amb números amb els que es pot formar el dia del mes, i unes barres amb els noms dels mesos. Cada dia cal reordenar les xifres i si s’escau, canviar el mes.

Calendari de daus
La primera qüestió, fàcil, és com es poden col·locar les xifres als dos daus de manera que sigui possible formar amb ells qualsevol número entre el 01 i el 31?
Veiem que els mesos estan pintats simplement sobre unes barres que són uns prismes de secció quadrada i n’hi ha tres a sota dels daus. Aquí ens podem preguntar si no seria possible formar els noms dels mesos —els seus abreujaments de tres lletres— amb tres daus amb sis lletres a cadascun d’ells? O demostrar que és impossible.

Tres daus amb lletres a les seves cares

★★★ COMENTARIS ★★★
★★★ SOLUCIÓ ★★★