24: Salts de cavall

Problema 24

El cavall d’escacs és una figura amb un moviment fascinant, diferent al de les altres. En lloc d’avançar segons una línia, salta caselles, i sovint per anar a parar a un lloc concret ha de fer curioses giragonses.

El primer que cal constatar del moviment del cavall és que a cada pas canvia el color de la casella. Una conseqüència d’això és que per anar a una casella del mateix color, sempre li cal un nombre parell de salts, i per canviar de color, senar.

És fàcil veure que per anar d’un angle del tauler d’escacs al oposat —que és del mateix color— calen sis jugades.

Sis salts de cavall de punta a punta

La pregunta és: per quants camins diferents ho pot fer? considerant dos camins diferents si tenen alguna casella diferent.

Un sistema de solucionar aquest problema seria dibuixar els diagrames de tots els recorreguts possibles i comptar-los, prenent cura de no descuidar-ne cap ni tampoc de repetir-los, però aquest mètode és molt feinós, cal buscar millors maneres de calcular.

Una petita pista: aquests recorreguts de punta a punta amb sis salts no passen per totes les caselles del tauler…

Tots els salts vàlids per obtenir una solució

A la figura els podem veure tots superposats. Per anar de punta a punta i passar per qualsevol de les caselles no marcades amb un punt, caldrien més de sis salts, o sigui que no cal comptar cap recorregut del cavall que passi per qualsevol d’elles.
Ara, imaginem que el tauler és infinit, que no hi ha la restricció de no poder saltar més enllà de la vora. Continuen calent els sis salts per arribar a la casella de destí, però ho podem fer per més camins. Quants en total?

★★★ COMENTARIS ★★★

23: La constant àuria amb una mentida

Problema 23

La constant àuria, anomenada també divina proporció, és la relació que guarden dues quantitats x i y si entre la seva suma i la més gran d’elles hi ha la mateixa relació que entre la gran i la petita. El seu valor numèric amb quinze decimals és: 1,618033988749895… s’acostuma a representar amb la lletra grega fi, (φ Φ) tant en minúscula com en majúscula.

φ és un número irracional, i com a tal té infinits decimals no periòdics. Les representacions amb un nombre limitat de decimals, s’entén que signifiquen el nombre exacte, amb infinits decimals.
Una manera de “construir” aquest número amb una calculadora és escriure 1,25 efectuar l’arrel quadrada i sumar-li 0,5
Els grecs, que van estudiar força el número, ho feien de manera geomètrica, i creien que un rectangle amb els costats en aquesta proporció —anomenat rectangle auri— era especialment estètic i l’empraven en alguns monuments. El símbol φ es va escollir en honor a Fídies —φειδίας— que la va emprar en les seves obres.
Actualment, una bona aproximació a un rectangle auri és una targeta de crèdit, mesuren aproximadament 53,6 × 85,4 mm i la proporció des seus dos costats s’aproxima a la constant àuria en un 98,5%.

Aproximació al rectangle auri a base de quadrats

Una altra manera d’aproximar-se a un rectangle auri és partir de dos quadrats iguals de mida unitat, —groc i violeta a la foto— i anar afegint en espiral, altres quadrats de mida igual al costat més gran del rectangle precedent. És fàcil veure que les mides dels successius quadrats seran: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… cadascun igual a la suma de les mides dels dos que l’han precedit. Aquesta sèrie numèrica, s’anomena la successió de Fibonacci i el quocient entre dos termes successius, no tan sols es va aproximant cada vegada més a φ, sinó que és la millor aproximació possible de un quocient de dos números inferiors o iguals a cadascun dels termes de la successió.

Numèricament, φ té algunes propietats úniques molt curioses.
φ² = φ + 1: 1,61803² = 2,61803
1/φ = φ – 1: 1/1,61803 = 0,61803
En ambdós casos els decimals del resultat —marcats en vermell— són els mateixos que els de la constant.

Podem veure que les dues expressions són, en definitiva, la mateixa expressió de segon grau: x² –  x – 1 = 0, que té per arrel positiva precisament φ (l’altre arrel és 1 – φ)

La parella de números φ i φ² tenen una propietat única molt curiosa: si prenem tots els múltiples de φ: 1,61803 3,23606 4,85410 6,47213 8,09016 9,70820 11,32623 12,94427… i també els múltiples de φ²: 2,61803 5,23606 7,85410 10,47213 13,09016… veiem que les seves parts enteres —marcades en vermell— són precisament tots els números naturals sense excepció.

Amb una calculadora partim del número 1 i anem repetint un cicle consistent en: invertir el resultat i sumar-li 1. El resultat s’anirà aproximant cada vegada més a φ. Invertir vol dir dividir 1 pel número en qüestió; si la calculadora no té la tecla retolada 1/x, en moltes calculadores es pot fer amb la combinació de tecles ÷ ÷ = =

Amb una calculadora, partim del número 1 i anem repetint un cicle consistent en: sumar 1 al resultat i efectuar l’arrel quadrada.El resultat s’anirà aproximant cada vegada més a φ.

Aquests dos darrers càlculs es poden expressar en dues fórmules infinites bastant senzilles, que només contenen el número 1, que ens donen també el valor de φ.

.

Dues fórmules infinites de φ

En geometria també surt força vegades la proporció àuria, especialment quan hi ha pel mig pentàgons regulars —també decàgons, dodecaedres i icosaedres regulars—.
.

La constant àuria al pentagrama (estrella de 5 puntes)

A la figura hi veiem en vermell alguns segments i les seves mesures relatives. Les llargades dels segments FJ AF AB i BD estan en progressió geomètrica de constant φ. Cal adonar-se també que el costat del pentàgon —AB o BC, per exemple— és igual als segments interiors tipus AG o AI.

Dodecaedre format per tres rectangles auris

En tres dimensions, si intersequem perpendicularment tres rectangles auris iguals  com a la figura, els seus 12 vèrtexs corresponen amb els 12 vèrtexs d’un icosaedre regular.

El problema que proposo aquí, consisteix en trobar una afirmació falsa en aquest article.

★★★ COMENTARIS ★★★

22: Daus i dòminos

Problema 22

Les 28 fitxes del joc normal del dòmino estan formades cadascuna per dos quadrats, amb uns punts que marquen el seu valor i que tenen la mateixa disposició que els punts de les cares dels daus. Aleshores podem intentar col·locar 56 daus formant un rectangle de 8×7 quadrats, reproduint la configuració dels 28 dòminos.

Però, malauradament, no hi acostuma ha haver daus amb cares buides com el valor blanc dels dòminos, de totes maneres això no és res que en una fotografia digital no es pugui solucionar amb un programa de retoc. Aleshores, els 56 mitjos dòminos es poden representar amb daus, al menys fotogràficament.

Aquesta representació no és biunívoca, si partim de 56 daus en una disposició de 8×7, pot passar que no hi hagi cap possible correspondència amb les 28 fitxes dels dòmino, que les 28 fitxes es puguin posar de diverses maneres representant els valors dels daus, o que només hi hagi una manera de fer-ho.

56 daus… 28 dòminos?

És el cas dels daus de la foto, només hi ha una manera de posar les 28 peces d’un joc de dòmino de manera que tinguin els mateixos valors. Val a dir que la orientació dels ⚁, ⚂ i ⚅ és irrellevant, he orientat tots els daus de la mateixa manera per no donar unes pistes que farien trivial el problema. Els valors laterals dels daus també són irrellevants, naturalment.
Col·loqueu els 28 dòminos en una disposició que dupliqui els daus de la foto.

★★★ COMENTARIS ★★★

21: El valor de les lletres

Problema 21

Hi ha un joc anomenat Scrabble, on cada lletra de l’alfabet té un determinat valor numèric que depèn de la llengua de l’edició del joc.

En general, si escrivim un número amb aquestes lletres, el seu valor total no és igual al de la suma dels seus valors, això en català només passa amb l’onze —si adoptem el conveni de per l’1 fer servir només la forma un i no la u—, o en anglès només amb sixteen —si juguem amb el joc de fitxes català, que amb el joc anglès twelve fa 12, però aquí no tenim la W a les fitxes del joc—.

Però els valors reals de les fitxes en el joc comercial no ens interessen pel problema següent. Imaginem que poguessin ser nombres qualsevol, inclosos negatius i fraccions. I que els seus valors fossin els de la il·lustració següent:

Els nous valors d’algunes lletres

Podem veure que ara hi ha més números que són iguals al valor de les seves lletres:

Els números de l’1 al 6

U + N = 6 – 5 = 1
D + O + S = –2 –1 + 5 = 2
T + R + E + S = –8 + 4 + 2 + 5 = 3
Q + U + A + T + R + E = –3 + 6 + 3 – 8 + 4 + 2 = 4
C + I + N + C = 7 – 4 – 5 + 7 = 5
S + I + S = 5 – 4 + 5 = 6
Malauradament, el 7 falla, el seu total amb aquests valors de fitxes, seria:
S + E  + T = 5 + 2 – 8 = –1
Però és possible continuar, escollir uns altres valors per a les lletres i aconseguir que els mots valguin el número que representen fins  força més enllà del 7. Fins a quin número ho aconseguiu?

★★★ COMENTARIS ★★★

20: Manquen peces

Problema 20

El mètode inductiu consisteix en observar les propietats comunes a una sèrie de dades, obtenir una llei que les generi, i generalitzar a altres casos.

No és in mètode infal·lible, com ho podria ser el deductiu quan partim de d’observacions certes, sinó que sempre deixa la possibilitat que la llei amagada darrera les observacions sigui més complexa, que hi hagi excepcions que no hem vist o que les dades no siguin representatives de la totalitat del problema.

En el conjunt de peces de la il·lustració —només els fons de suro és una fotografia— hi manca potser alguna peça.

53 peces d’una determinada col·lecció

Esbrinar quantes i les seves formes es pot aconseguir pel mètode inductiu.
Primer cal estudiar propietats en comú de les peces observades, separar les rellevants de les circumstancials, a continuació descobrir una llei general que les descrigui i, finalment, generar totes les peces possibles amb aquesta llei i veure quines manquen a la imatge.
Naturalment que mai no podem estar segurs de què és el que hi manca, igual les peces són arbitràries, per exemple eren les que hi havia en una determinada caixa en la que més a més hi havia un dau i un peó d’escacs, mai no ho podríem esbrinar amb la informació disponible. Però no, aquí cal emprar la navalla d’Occam i trobar una regla senzilla i no arbitrària —que no deixen de ser criteris subjectius.
Trobeu com són la peça o peces mancants.

★★★ COMENTARIS ★★★

19: Fent camí

Problema 19

Són força coneguts els problemes topològics que demanen connectar amb línies, per exemple, diversos habitatges amb diversos serveis, de manera que les línies de subministrament no es creuin.

Sis parelles de peons a un tauler de 10×10

Aquí en proposo un de similar, unir cadascuna de les sis parelles de peons del mateix color amb una línia, amb la condició suplementària que els camins han de estar formats per un seguit de caselles adjacents del tauler, sense que de cap manera dos camins passin per la mateixa casella.
Si els camins els representem amb fitxes dels colors dels peons que anem posant a les caselles, com a pista puc dir que al final no queda cap casella lliure.
Trobeu els sis camins.

★★★ COMENTARIS ★★★

18: En català i màgic

Problema 18

Fixem-nos en la figura següent:

L’únic quadrat màgic de 3×3

És el que s’anomena un quadrat màgic, una disposició quadrada de números, en aquest cas 3×3, en la qual totes les files columnes o diagonals sumen el mateix, en aquest cas 15.
Aquest és l’únic quadrat màgic perfecte d’ordre 3, en el sentit que dos quadrats que es poden transformar l’un en l’altre mitjançant girs o simetries els considerem el mateix. Perfecte vol dir format pels nombres naturals consecutius a partir de l’1 i fins a l’ordre al quadrat, en aquest cas 9. Si augmentem l’ordre augmenta molt el nombre de quadrats màgics perfectes, d’orde 4 n’hi ha 880, i de 5×5 exactament 275.305.224.

És fàcil veure que no n’hi pot haver d’ordre 2, i d’ordre 6 es calcula que n’hi ha uns 1,77·10¹⁹

Si suprimim la condició que els nombres  siguin consecutius, òbviament, encara n’hi ha més. Per exemple es poden construir quadrats màgics formats per nombres primers, o també que tots els nombres siguin quadrats, encara que això no se n’ha aconseguit amb quadrats d’ordre 3, però tampoc s’ha demostrat que sigui impossible.
Un quadrat màgic famós és troba a la façana de la passió de la Sagrada Família de Barcelona, obra de Josep Maria Subirachs:

Quadrat màgic de 4×4 a la Sagrada Família

És de 4×4 i no està format per números consecutius, ja que repeteix 10 i el 14 i hi manca el 12, el motiu és que Subirachs volia que la seva suma fos 33.

Ara, fixem-nos en el quadre de la següent il·lustració:

Quadrat alfamàgic en anglès

Aquí, si mirem els números grans en vermell, veurem que formen un quadrat màgic amb suma 45.

Però n’hi ha molt més, si escrivim aquests números en anglès, i comptem les lletres que té cadascun d’ells —són les que surten en groc a cada quadre— veurem que també formen un quadrat màgic —sí, amb repeticions però aquí no ens importa gaire— amb suma 21.

És el que s’anomena un quadrat doblement màgic o alfamàgic.

Naturalment que és dependent de la llengua en la que escrivim els números.

El problema que proposo és construir un quadrat alfamàgic en català.

Per no complicar la recerca, emprarem només la forma un enlloc de u, i dos en lloc del femení dues. Tampoc —de la mateixa manera que es fa en anglès— no comptarem com a lletra el guionet.

Per ajudar una mica incloc una taula amb les llargades dels números fins al 100.

Taula de llargada dels números en català fins al 100

Trobar un quadrat així té una certa dificultat, però hi ha un problema més difícil que és trobar el quadrat alfamàgic en català que tingui la menor constant possible. Puc dir aquí que la dificultat rau en que és molt fàcil partir d’una hipòtesi infundada però que sembla evident, que fa que no trobem precisament el quadrat mínim.

No hi ha trampa, la solució és un quadrat format per números enters diferents  més grans que zero.
Acabem amb una pregunta fàcil no relacionada amb quadrats màgics: quin és el número català, inferior al milió, amb més lletres?

★★★ COMENTARIS ★★★

17: Sudoku amb daus

Problema 17

El sudoku és un trencaclosques que més que plantejar problemes de difícil solució, d’idea feliç o de complicacions de càlcul, ens pot ajudar a aprendre a fer les tasques sistemàticament, a cercar la manera de fer-les ràpid o a mantenir la concentració per tal d’evitar errors.

A part de la forma clàssica del sudoku de 9×9, dividit en 9 quadrets de 9 caselles, n’hi ha força més, que si bé poden ser diferents en forma, comparteixen la mateixa metodologia de solució.

Una de les variants consisteix en no fer les zones quadrades.

És el cas del problema que presento aquí:

Un rectangle de 6×12, dividit en dues meitats de 6×6, i gràficament realitzat amb daus.

Sudoku amb daus… amb alguns punts esborrats

A cadascuna de les columnes, a les mitges files —del quadrat de la dreta o de l’esquerra— o a cada conjunt de sis daus contigus del mateix color, hi ha d’haver els sis valors possibles del dau, des de l’1 al 6.

Els dotze conjunts de daus de cadascun dels colors, són dotze dels trenta-cinc hexominós, escollits a l’atzar. S’entén que la divisió central de la figura en dos quadrats de 6×6, no els afecta, només serveix per distingir la mitja fila de la dreta de la de l’esquerra.

Podeu esbrinar tots els valors de les cares dels daus a les que he esborrat els punts?

★★★ COMENTARIS ★★★

16: El misteri del número 37

Problema 16

Quan tenia 8 anys, a la contracoberta de color lila d’un quadern de cal·ligrafia, hi vaig trobar una digressió que un anònim, i lloable, dissenyador hi havia afegit per entretenir els nens.
Demanava d’escriure dues vegades seguides un número de tres xifres —en un paper, clar, encara no hi havia calculadores de butxaca—.
Aleshores s’havia de dividir per 7.
I sorpresa, la divisió era “exacta” no quedava residu.
A continuació el resultat s’havia de dividir per 11.
El resultat també era exacte!
I ara, s’havia de dividir aquest resultat per 13.
Novament, i a la tercera al menys jo ja m’ho esperava, la divisió tornava a ser exacta. I més: el resultat era el número de tres xifres inicial.

Divisions per 7, 11 i 13

Funcionava per qualsevol número de tres xifres, ho vaig comprovar amb uns quants abans de preguntar-me el perquè.
No va ser difícil, de seguida em vaig adonar que dividir per 7, desprès per 11 i a continuació per 13, era el mateix que dividir per 7 × 11 × 13. Vaig efectuar la multiplicació i el resultat és 1001, un número “curiós”, capicua i amb només dues xifres. El contrari de dividir és multiplicar, vaig multiplicar per 1001 un número de tres xifres, i immediatament vaig veure que el resultat era escriure’l dues vegades seguides.
Havia resolt el misteri., però quan ho vaig explicar tot content, ni companys, ni mestres ni pares es van impressionar gaire…

❀ ❀ ❀ ❀ ❀

Molts anys més tard, amb una calculadora programable, vaig trobar una qüestió d’alguna manera relacionada amb l’antiga facècia.
Havia escrit un programa per descompondre un número en factors primers, i naturalment el vaig provar amb números més o menys a l’atzar.
No recordo ja amb quin va ser que ho vaig veure, vaig escriure un número del tipus 123654, tot fent un circuit per les tecles de la calculadora, el resultat va ser: 2 × 3 × 37 × 557
Tot normal. Al cap d’una estona vaig tornar a provar un altre número d’un “circuit”, per exemple 258741. Resultat: 3³ × 7 × 37²
I un tercer, posem que fóra 789654. Ara la descomposició és: 2 × 3 × 37 × 3557
Que surti sovint el factor 2 o 3 és normal, hi ha un percentatge elevat de números que en són múltiples. Però la persistència del 37 era intrigant.
Tot fent més proves, vaig veure que escrivint els números anteriors a l’inrevés, també hi sortia el curiós factor 37:
456321 = 3 × 37 × 4111
147852 = 2² × 3³ × 37²
456987 = 3 × 23 × 37 × 179
I cíclicament, començant per qualsevol de les xifres del número i en qualsevol sentit, els nombres de sis xifres resultants sempre eren múltiples de 37.
365412 = 2² × 3 × 37 × 823
541236 = 2² × 3 × 23 × 37 × 53
I no només sortia el persistent factor 37 amb els circuits de dues files o dues  columnes del quadrat de tecles 1 al 9 de la calculadora, hi havia altres circuits 6 xifres que també generaven sempre múltiples de 37. En qualsevol sentit, començant per qualsevol xifra.

Alguns dels circuits que generen múltiples de 37

Molts! També circuits que inclouen el zero: per exemple 736041 que val 3 × 19 × 37 × 349; ara en sentit contrari començant per una altra xifra: 406371 = 3 × 7 × 37 × 523.
No hi ha cap altre grup de circuits de sis xifres que generi quantitats sempre múltiples d’un número de la mida del 37. Sí que és fàcil fer que siguin múltiples de 3 o de 9, senzillament cal que la suma de les xifres del circuit sigui precisament múltiple de 3 o de 9, però això és força trivial i sense gaire interès.
Què té d’especial el número 37?
Què tenen en comú tots aquests circuits que en generen múltiples de 37?

★★★ COMENTARIS ★★★