Números

Números

Números és un conjunt de notes curtes, algunes d’elles il·lustrades, sobre diversos números naturals que tinguin un cert interès en el camp de l’educació i la matemàtica lúdica.

1

• L’1 és la identitat multiplicativa, qualsevol número multiplicat —o dividit— per 1 no varia.
• Pertany a la sèrie dels quadrats: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36… la dels cubs: 0, 1, 8, 27, 64, 125… la dels números triangulars: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21… a la sèrie de Fibonacci per partida doble: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… a la sèrie de Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29…
• És l’únic número natural que no és ni primer ni compost

2

• 2 és l’únic nombre primer parell
• En qualsevol poliedre simple —simple vol dir sense forats— el nombre de cares més el de vèrtexs és igual al d’arestes més 2

• aⁿ + bⁿ = cⁿ només té solucions no trivials en nombres enters si n val 2, segons afirma el teorema de Wiles-Fermat
• La suma infinita dels inversos dels nombres triangulars —1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15…—, val 2

3

• Els 3 punts més notables del triangle: circumcentre —vermell— on es tallen les mediatrius dels costats, baricentre —blau— on es troben les mitjanes que uneixen els vèrtex amb el punt mig del costat oposat, i ortocentre —verd— on es tallen les tres alçades, estan en línia recta. Subsidiàriament la distància entre el baricentre i l’ortocentre és el doble de la que separa baricentre i circumcentre
• En cinc dimensions o més, només hi ha 3 polítops regulars —els equivalents als polígons o els poliedres regulars en dues o tres dimensions—
• Qualsevol número natural és suma de com a màxim 3 números triangulars

4

• 4 és l’únic número igual a un altra sumat, multiplicat o elevat a ell mateix: 2 + 2, 2 × 2 i 2²
• Qualsevol número natural és suma de 4 o menys quadrats
• Qualsevol mapa de regions connexes el pla o sobre una esfera, es pot acolorir amb 4 colors de manera que dues regions que es toquen no siguin del mateix color

5

• Hi ha exactament 5 poliedres regulars

6

• Un cercle pot ser tangent a 6 altres cercles iguals que no s’intersequin
• És el més petit dels nombres perfectes, els que són iguals a la suma dels seus divisors propis  que en el cas del 6 són 1, 2 i 3
• En un grup de 6 o més persones, si suposem que dues d’elles sempre es coneixen o es desconeixen sense matisos intermedis, sempre n’hi ha 3 que són mútuament conegudes o 3 que són mútuament desconegudes
• 6 és el número més gran que no és no suma de diferents primers

7

• No és possible dividir un rectangle en menys de 7 rectangles de costats enters, tots ells diferents
• No és possible dividir un rectangle en menys de 7 rectangles d’igual àrea però de diferents costats (els costats són, en aquest cas, números irracionals)
• El 7 és la primera quantitat en que no podem dividir el cercle emprant regle i compàs
• Qualsevol mapa de regions connexes sobre una tor, es pot acolorir amb 7 colors de manera que dues regions que es toquen no siguin del mateix color
• Un poliedre amb un forat —topològicament equivalent a un tor— ha de tenir al menys 7 cares
• No pot existir cap poliedre amb 7 arestes

8

• La stella octàngula és el més senzill dels poliedres estel·lats, té 8 vértex i 8 cares triangulars que intersequen amb altres cares
• És l’únic cub que està a una unitat d’un quadrat, 8 = 2³ = 3² – 1
• És l’únic cub, llevat del trivial 1, de la seqüència de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… on cada terme és la suma dels dos anteriors
• És el terme més gran de la seqüència de Fibonacci que és veí d’un primer

9

• 9 és el nombre més petit de quadrats enters diferents en que un rectangle es pot dividir
  

10

• 10 és triangular i piramidal triangular —també anomenat tetraèdric— a la vegada. Només els números 1, 10, 120, 1540 i 7140 gaudeixen d’aquesta propietat

11

• Hi ha en total 11 enrajolats del pla formats per polígons regulars de manera que tots els vèrtex on concorren tres o més polígons siguin iguals

12

• Existeixen exactament tant 12 pentominós, formats per 5 quadrats, com 12 hexiamonds, formats per 6 triangles equilàters

13

• Hi ha exactament 13 sòlids arquimedians, formats per polígons regulars i on tots els vèrtex tenen la mateixa configuració

14

• Amb tres quadrats iguals, més un triangle igual a la meitat d’un dels quadrats, quan els posem adjacents, podem formar 14 figures diferents. La superfície total és de 49 unitats quadrades, i com es pot veure a la figura, es poden ajuntar per formar un quadrat gran de 7×7

15

• És la constant més petita possible d’un quadrat màgic. en aquest cas totes les files columnes i diagonals sumen 15, i també és vàlid el recíproc: tres números diferents entre 1 i 9 que sumin 15, són necessàriament una fila, columna o diagonal del quadrat

16

• 16 és 2⁴, la primera quarta potència, a part de la trivial 1, i en conseqüència…
• És el nombre de vèrtex d’un hipercub, l’anàleg tetradimensional del cub

17

• Si repetim de manera periòdica un motiu en el pla, hi ha exactament 17  possibles grups de simetria

18

• Hi ha 18 pentominós d’una sola cara, considerant diferents dos pentominós que són un la imatge especular de l’altre. A la figura els grocs i els verds son els mateixos sis tombats. Els trencaclosques amb aquests 18 pentominós són força més fàcils que els de 12 amb possibilitat de tombar-los, per exemple, 12 pentominós normals en un rectangle de 20 × 3 s’hi poden posar de 2 maneres diferents —al número 12 hi podem veure una solució—, un rectangle de 30 × 3 com el de la figura, es pot omplir de 46 maneres diferents amb els 18 pentominós d’una sola cara. Un rectangle de 10 × 6 de 2.339 maneres amb el joc bàsic, un rectangle de 10 × 9, de 10.440.433 maneres diferents amb els 18 d’una sola cara
• En un grup de 18 o més persones, si suposem que dues d’elles sempre es coneixen o es desconeixen sense matisos intermedis, sempre n’hi ha 4 que són mútuament conegudes o 4 que són mútuament desconegudes

19

 

• 19 és el tercer número hexagonal centrat, i el nombre de caselles de l’únic hexàgon màgic possible —totes les línies de 3, 4 o 5 caselles sumen la mateixa constant, 38, el doble de 19— amb els números de l’1 al 19
• Cada número natural és suma de no més de 19 quartes potències
• Fins el 19è membre de la sèrie de Fibonacci —4181—, els que ocupen posicions que són un nombre primer senar, són ells mateixos primers: F₃ = 2, F₅ = 5, F₇ = 13, F₁₁ = 89, F₁₃ = 233, F₁₇ = 1597; però F₁₉ = 4181 = 37 × 113

20

• L’icosaedre, té 20 cares —el màxim possible en un poliedre regular— que són triangles equilàters, 12 vèrtexs i 30 arestes
• Qualsevol cub de rubik, es pot reordenar al seu estat inicial en no més de 20 moviments. Hi ha posicions que requereixen exactament aquests 20 moviments

21

 

• 21 és el nombre més petit de quadrats enters diferents en que un quadrat  es pot dividir

22

• 22 és el nombre de diferents conjunts d’enters que sumen 8

23

• En una reunió amb 23 o més persones a l’atzar, la probabilitat que dues tinguin l’aniversari el mateix dia supera el 50%. A la il·lustració dos calendaris amb 23 dates a l’atzar, en el segon, la data del 31 de març hi va aparèixer dues vegades

24

• Dividim un quadrat en quatre triangles mitjançant les seves dues diagonals. Hi ha 24 maneres diferents de pintar els quatre triangles amb tres colors, considerant idèntiques dues figures si una és rotació de l’altra, però no imatge especular. És fàcil col·locar els 24 quadrats en un rectangle de 6×4 de manera que tota la vora sigui d’un mateix color, i que dos triangles adjacents també, concretament es pot fer de 13.328 maneres diferents

25

• 25 és el quadrat més petit, suma de dos quadrats

27

• El cub de 3, el nombre de petits cubs del cub de Rubik original, si comptem el cub invisible —i imaginari— del seu centre

28

• 28 és un número perfecte, en conseqüència, la suma dels inversos dels seus divisors, llevat de la unitat, és 1

32

• És possible col·locar 32 cavalls en un tauler d’escacs de manera que no n’hi hagi dos que s’ataquin mútuament

35

•   Hi ha 35 hexominós, figures formades per sis quadrats iguals adjacents

36

• El primer número —llevat del trivial 1— que és quadrat i triangular a la vegada és el 36. La seqüencia de números amb aquesta propietat és 1, 36, 1225, 41616, 1413721… es poden calcular a partir de la fórmula: t(n) = 34 × t(n–1) – t(n–2) + 2

37

• El primer número —llevat del trivial 1— que és estrellat i hexagonal  a la vegada és el 37. La seqüencia de números amb aquesta propietat és 1, 37, 1261, 42841, 1455337… es poden calcular a partir de la fórmula: t(n) = 34 × t(n–1) – t(n–2) + 4
  

38

• 38 és el darrer dels números romans quan els ordenem per ordre alfabètic

42

• 42 és el cinquè número de Catalan, entre moltes altres coses és el nombre de maneres que una “escala” de cinc graons es pot cobrir amb cinc rectangles —sense tenir en compte les simetries—. La seqüència de números de Catalan és: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430…

47

• Si dibuixem tots els segments que uneixen els vèrtexs i els punts mitjos dels costats d’un triangle, dins la figura resultant hi podem comptar 47 triangles diferents