Pentominós

Els pentominós són l’exemple més conegut d’una categoria de figures anomenades poliominós, que són les figures formades per diversos quadrats iguals adjacents, costat amb costat. El nom ve del dominó, format per dos quadrats. Amb tres quadrats podem formar dues figures diferents —en línia o en angle— que s’anomenen, seguint la mateixa lògica, trominós. 

Polifigures: el  monominó, el dominó i els dos trominós

 Els de quatre quadrats són els tetrominós, i n’hi ha cinc de diferents.

Els cinc tetrominós

 De cinc quadrats n’hi ha dotze, i són l’objecte principal d’aquesta pàgina, es coneixen amb el nom de pentominós.

Els dotze pentominós, col·locats dins d’un rectangle de 6 × 10 unitats

 Els poliominós són part d’una nombrosa família d’objectes formats per juxtaposició d’elements idèntics, no necessàriament de dues dimensions. El terme genèric és el de polifigures.
El mot pentominó, va ser inventat per Solomon Golomb l’any 1954, quan tenia 22 anys, en un article sobre el tema publicat al American Mathematical Monthly. Posteriorment va divulgar les seves investigacions sobre el tema en un llibre anomenat Polyominoes, publicat l’any 1965 per Princeton University Press.
Els poliominós permeten gran quantitat d’activitats, des de trivials a extremadament complexes.

★ El trencaclosques: encabir les dotze peces dins una determinada figura; la més normal és un rectangle de 6×10 quadrets de mida, encara que en són possibles d’altres com els de 5×12, 4×15 i 3×20, o moltes altres figures.
★ Recerca de solucions als trencaclosques que presentin propietats especials.
★ Estudi dels conjunts de peces que presentin simetries.
★ Enrajolaments: tots els pentominós poden enrajolar el pla, però no tots un rectangle o altres formes.
★ Problemes de lògica i d’anàlisis.
★ Recomptes de peces o configuracions.

Els pentominós acostumen a denominar-se amb una lletra, amb la que més o menys hi tenen alguna semblança, en aquest bloc emprarem aquesta convenció.

Els dotze pentominós i la seva denominació amb una lletra

Per generar els pentominós, podem partir dels tetrominós, afegint-hi un quadret en totes les posicions possibles; en general, a partir del monominó, es poden generar tots els poliominós de les successives generacions per aquest mètode, dibuixant una mena d’arbre genealògic.

L’arbre genealògic dels pentominós

Podem apreciar que hi ha pentominós amb diferent nombre d’avantpassats: I, U, V, W, X i Z es poden generar a partir d’un sol dels tetrominós; L, N, T i Y a partir de dos; F de tres; i, finalment, P, de quatre.
De la mateixa manera, no tots els pentominós tenen el mateix nombre de descendents —anomenats hexominós.
Òbviament, tots els pentominós tenen la mateixa àrea, cinc unitats quadrades, ja que estan formats per cinc quadrats, però no tots tenen el mateix perímetre: el pentominó P, té perímetre deu, i tots els altres dotze.
També és variable el número de costats. I en té quatre; L, P i V, sis; N, T, U, Y i Z, vuit; F i W deu; i X dotze. El nombre de vèrtexs coincideix, naturalment, amb el de costats.
Pot existir algun poliominó amb un nombre senar de costats?
Els vèrtex dels poliominós són sempre angles de 90º, però aquests angles poden ser convexos —tenen la punta capa a l’exterior de la figura, o còncaus si apunten a l’interior, els podem anomenar angles interiors.
Una relació elemental ens diu que el nombre de costats d’un poliominó és igual a quatre més el doble del nombre d’angles interiors. El nombre d’angles exteriors és la meitat del nombre de costats més 2.

El trencaclosques de 8×8

Ja hem vist que els 12 pentominós es poden col·locar dins d’un rectangle de 6×10, i ho poden fer exactament de 2.339 maneres diferents, comptant com a la mateixa dues solucions que siguin una un gir de 180º o la imatge especular de l’altre.
Dins d’un quadrat de 8×8 també s’hi poden posar, i en aquest cas ens queden 4 caselles desocupades. Aquest trencaclosques és molt més senzill que el del rectangle, amb moltísimes més solucions.

Els 12 pentominós dins d’un quadrat de 8×8, deixant quatre caselles desocupades

A la il·lustració hi podem veure uns quants casos. El número sota cadascun dels diagrames és el nombre de solucions amb les quatre caselles buides en la mateixa posició. És curiós que aquest número és molt variable en funció de quines caselles deixem desocupades.Un problema interessant pot ser el d’esbrinar quines han de ser les quatre caselles buides per aconseguir el màxim o el mínim de solucions —un mínim més gran que zero, que seria trivial d’obtenir disposant els quatre quadres de manera que bloquegin alguna casella útil en un angle—.

El trencaclosques de 10×6

El trencaclosques consistent en encabir tots els pentominós en un rectangle de 10×6 és més difícil de solucionar a mà que el de 8×8, ja que en no sobrar cap casella cal ajustar exactament les 12 peces.
Des dels anys 60, que es va esbrinar amb ordinador que té exactament 2.339 solucions, llevat de girs i simetries, força més que els rectangles de 12×5, 15×4 o 3×20 que en tenen respectivament 1.010, 368 i 2.
A moltes persones, veient el que els costa trobar una sola solució, els costa creure que n’hi hagi tantes, però precisament que el seu nom sigui nombrós, indica que no hi ha restriccions generals que ens simplifiquin el problema, per exemple quasi tots els pentominós poden estar en qualsevol posició que no deixi caselles bloquejades en un angle.
Això ens porta a una de les regles generals per solucionar aquesta mena de trencaclosques que és important tenir sempre presents: 1 “quan col·loquem una peça que divideix la zona lliure del trencaclosques en dos o més, cal que les zones resultants tinguin un nombre de caselles múltiple de 5”. Resulta evident que si no ho fem bloquegem el trencaclosques, cada peça de més que posem en ell, ens fa minvar les caselles lliures de la zona on va a parar en 5; si la zona no és múltiple de 5 al dinal ens quedaran lliures en ella 4, 3, 2 o 1 casella, impossibles de cobrir amb qualsevol pentominó, que per definició tenen una àrea de 5 quadrets.
La segona regla, realment evident, que cal tenir en compte és: 2 “a cada casella lliure que resti després d’haver col·locat una peça, al menys hi ha de poder entrar un dels pentominós encara no emprats”.
I la tercera és com la recíproca de la segona regla: 3 “cadascun dels pentominós no emprats, ha de tenir al menys un lloc on poder-se col·locar que, a més, respecti la primera regla”
Quan hom comença a trobar solucions a mà, en pot extreure una sèrie de regles heurístiques particulars que l’ajuden a trobar-ne més. Aquestes regles, però, no són absolutes, sinó purament indicatives de manera estadística. És més probables obtenir una solució si les apliquem.
• Deixar pel final els pentominós “fàcils”. Això de fàcil o difícil és mig subjectiu, en el meu cas, de fàcil a difícil, i de manera molt aproximada, classificaria els pentominós així: P, L, N, Y, V, Z, U, X, T, I, W, F. Dit d’una altra manera, si aconseguim posar onze pentominós en el trencaclosques i ens queda un sol espai lliure, que necessàriament tindrà la forma d’un dels pentominós, és més probable que tingui la forma d’un dels “fàcils” que d’un dels “difícils”.
• La gran majoria de les solucions —totes menys 25 del es 2.239— tenen el pentominó I tocant la vora del rectangle pel seu costat llarg.
• A un 52,4% de les solucions els pentominós U i X formen parella.
• En un 28,4% dels casos són V i Z els que estan acoblats

…/ pàgina en construcció, continuarà /…