Quadrats, triangulars i altres famílies de números
Quadrats. Als antics grecs, especialment als pitagòrics ja els fascinaven fa 2.400 anys.
En el llenguatge modern encara en tenim una herència: a multiplicar quatre per quatre, en diem elevar quatre al quadrat. I és que si fem un quadrat, per exemple amb baletes, de quatre de costat, en necessitem precisament quatre al quadrat, o sigui setze.
La visió geomètrica de l’aritmètica dels grecs contemplava una multiplicació com un rectangle, i realment en el cas dels números naturals la correspondència és exacta, multiplicar x per y és construir un rectangle de x per y objectes i comptar-los. Elevar al quadrat és el cas particular de multiplicar x per x, aleshores el rectangle esdevé quadrat. Amb aquesta visió, per exemple, un nombre primer és el que no es pot “rectangutaritzar”.
La visió geomètrica ens permet veure —en sentit literal— algunes de les propietats dels números quadrats. Imaginem que volem calcular el quadrat de cinc a partir del quadrat, que ja coneixem de quatre. En primer lloc afegim al quadrat una cinquena línia de quatre objectes —ara la figura fa quatre per cinc—, i a continuació, cinc objectes més al costat llarg per completar el quadrat de cinc. Escrit de manera algebraica hem fet: 4² + 4 + 5 = 5². Generalitzant, n² + n + (n + 1) = (n + 1)² o escrit d’una altra manera, n² + 2n + 1 = (n + 1)². Això vol dir que les diferències entre dos termes successius de la sèrie dels quadrats 0², 1², 2², 3², 4², 5²… són la sèrie dels senars: 1, 3, 5, 7, 9… i també que el quadrat d’un número n és la suma dels primers n senars.
A la figura hi podem veure com, a partir del quadrat del número un —a baix i a l’esquerra—, hi anem afegint —per la dreta i per dalt— orles de 3, 5, 7, 9… quadrets per anar formant els successius quadrats.
Cubs. No eren els números quadrats els únics que van interessar als antics grecs, de la mateixa manera que els quadrats existeixen els cubs: a calcular tres per tres per tres en diem elevar tres al cub. I és que tres per tres per tres —vint-i-set— és el nombre d’objectes en una disposició cúbica, en tres dimensions, que en tingui tres d’aresta, ho podem escriure 3³ = 27.
Aquí també podem “veure” la manera de calcular geomètricament el següent cub a partir d’un de mida n: escollim un vèrtex, a les tres cares que hi concorren hi afegim un quadrat de n×n, ara cal completar les tres arestes amb n objectes més cadascuna, i finalment posar el darrer objecte en el vèrtex escollit. Algebraicament n³ + 3n² + 3n + 1 = (n + 1)³ De la mateixa manera es podria continuar amb més dimensions “elevant al hipercub” però aquí fem servir elevar a la quarta potència, els grecs mai no van voler imaginar en objectes, per ells impensables, de més de tres dimensions.
Quadrats. Als antics grecs, especialment als pitagòrics ja els fascinaven fa 2.400 anys.
En el llenguatge modern encara en tenim una herència: a multiplicar quatre per quatre, en diem elevar quatre al quadrat. I és que si fem un quadrat, per exemple amb baletes, de quatre de costat, en necessitem precisament quatre al quadrat, o sigui setze.
 |
| El quadrat de quatre, amb quatre al quadrat —setze— baletes |
 |
| Afegint baletes verdes per passar del quadrat de quatre al quadrat de cinc |
 |
| Afegint caselles per anar formant els successius quadrats |
Cubs. No eren els números quadrats els únics que van interessar als antics grecs, de la mateixa manera que els quadrats existeixen els cubs: a calcular tres per tres per tres en diem elevar tres al cub. I és que tres per tres per tres —vint-i-set— és el nombre d’objectes en una disposició cúbica, en tres dimensions, que en tingui tres d’aresta, ho podem escriure 3³ = 27.
 |
| Cub de Rubik, amb 27 —3 al cub— cubs petits (1 cub sempre ocult al centre) |
Triangulars. En el que sí van pensar els grecs, va ser en els números triangulars, encara que aquí no hem heretat l’expressió elevar al triangle…
Quants objectes té una disposició triangular que en tingui n de costat?
Ho podem calcular visualment a través de la següent imatge:
En lloc de comptar un triangle d’objectes, en comptem dos d’iguals —un de baletes blanques i l’altra de verdoses, a l’esquerra de la figura— disposats adjacents. Podem deformar aleshores la disposició romboïdal dels dos triangles per fer-ne una altra de rectangular amb les mateixes baletes. Si abans teníem dos triangles de costat n, ara tenim un rectangle —multiplicació pels grecs— de n + 1 per n baletes; cadascun dels triangles té exactament la meitat de les baletes del rectangle, o sigui que el “triangular” de n val precisament n × (n + 1) / 2 o escrit d’una altra manera (n² + n) / 2
Les diferències entre dos números successius de la sèrie dels triangulars són molt fàcils de veure, per passar d’un triangular al següent només cal afegir a un dels costats del triangle una quantitat d’objectes igual al costat més un, o sigui que les diferències seran: 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Això és equivalent a quelcom evident visualment, per calcular el triangular de n cal sumar: 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n–1) + n, tots els enters consecutius des de la unitat fins a n
 |
| El triangular de sis, amb vint-i-una baletes |
Ho podem calcular visualment a través de la següent imatge:
 |
| Càlcul del número triangular: el triangular de quatre és la meitat del nombre de baletes de cada disposició |
Les diferències entre dos números successius de la sèrie dels triangulars són molt fàcils de veure, per passar d’un triangular al següent només cal afegir a un dels costats del triangle una quantitat d’objectes igual al costat més un, o sigui que les diferències seran: 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Això és equivalent a quelcom evident visualment, per calcular el triangular de n cal sumar: 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n–1) + n, tots els enters consecutius des de la unitat fins a n
Però no totes les disposicions triangulars ens porten a nombres triangulars
Quants triangles conté el triangle de la figura (1)? Marquem-los amb punts blaus i vermells (2)…
… a la imatge (3) hem separat els punts blaus. A (4) els tombem cap per avall i finalment, a (5) col·loquem punts vermells i blaus sobre un quadrat.
Un triangle “triangulat” de n de costat, conté n² triangles.
També es pot deduir fàcilment i visual de la figura que un el quadrat d'un número és la suma del seu triangular i del triangular d'una unitat menys —a la figura (5), respectivament, el triangle de punts vermells i el triangle de punts blaus—.
Quants triangles conté el triangle de la figura (1)? Marquem-los amb punts blaus i vermells (2)…
… a la imatge (3) hem separat els punts blaus. A (4) els tombem cap per avall i finalment, a (5) col·loquem punts vermells i blaus sobre un quadrat.
Un triangle “triangulat” de n de costat, conté n² triangles.
També es pot deduir fàcilment i visual de la figura que un el quadrat d'un número és la suma del seu triangular i del triangular d'una unitat menys —a la figura (5), respectivament, el triangle de punts vermells i el triangle de punts blaus—.
Els números quadrats i triangulars
A la taula que segueix hi podem observar alguns fets interessants sobre els cent primers números quadrats —en vermell— i triangulars —en blau—. En primer lloc que tant 0 com 1 pertanyen a aquestes categories. Els grecs no coneixien el zero, i fins i tot no consideraven l’u com a número, per a ells tan sols era la unitat. Ambdues quantitats pertanyen tant als números quadrats com als triangulars. N'hi d'altres?Examinant la taule en trobem dos més: 36 i 1225. Si tinguéssim una taula més extensa en podríem continuar trobant: 41616, 1413721… podem observar que la seqüència creix ràpidament. Hi ha alguna regularitat? alguna fórmula que ens doni aquesta sèrie de números?
Sí, però no és gaire fàcil de trobar: hi ha una fórmula recurrent que ens diu que cada terme és l'anterior multiplicat per 34, menys el d'abans de l'anterior, més 2. Per exemple el número que segueix a 1225 és 1225 × 34 – 36 + 2, que val precisament 41616.
La darrera xifra de la seqüència dels quadrats segueix la pauta: 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0… i a partir d’aquí torna a repetir, amb període 10. Podem observar que aquesta pauta és simètrica a l’entorn del 5. Un quadrat mai no pot acabar en 2, 3, 7 o 8.
La darrera xifra de la seqüència dels triangulars segueix la pauta: 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0… i a partir d’aquí torna a repetir, amb període 20. Podem observar que aquesta pauta és simètrica a l’entorn dels dos 5 centrals. Un triangular mai no pot acabar en 2, 4, 7 o 9.
Si un quadrat acaba en 0, la xifra de les desenes és també sempre un 0; si acaba en 5, la xifra de les desenes sempre és un 2.
Si un quadrat acaba en 6, la xifra de les desenes és senar, i recíprocament, si la xifra de les desenes d’un quadrat és senar, la darrera és un 6.
Si un triangular acaba en 3, la xifra de les desenes pot ser 0 o 5; si acaba en 8, les desenes són o 2 o 7.
…/ pàgina en construcció, continuarà /…
 |
| Taula dels quadrats i triangulars dels números del 0 al 99 |
Les xifres dels quadrats i triangulars
Observem la taula i fixem-nos en les xifres en que acaben els números quadrats i triangulars.La darrera xifra de la seqüència dels quadrats segueix la pauta: 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0… i a partir d’aquí torna a repetir, amb període 10. Podem observar que aquesta pauta és simètrica a l’entorn del 5. Un quadrat mai no pot acabar en 2, 3, 7 o 8.
La darrera xifra de la seqüència dels triangulars segueix la pauta: 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0… i a partir d’aquí torna a repetir, amb període 20. Podem observar que aquesta pauta és simètrica a l’entorn dels dos 5 centrals. Un triangular mai no pot acabar en 2, 4, 7 o 9.
Si un quadrat acaba en 0, la xifra de les desenes és també sempre un 0; si acaba en 5, la xifra de les desenes sempre és un 2.
Si un quadrat acaba en 6, la xifra de les desenes és senar, i recíprocament, si la xifra de les desenes d’un quadrat és senar, la darrera és un 6.
Si un triangular acaba en 3, la xifra de les desenes pot ser 0 o 5; si acaba en 8, les desenes són o 2 o 7.
…/ pàgina en construcció, continuarà /…
