3: Totes les lletres dels números

Problema 3

A la il·lustració —no, no és una fotografia— hi podem observar com s’escriuen els números en català. Parlem aquí de nombres inferiors a 1.000.000.000.000 que és un bilió i que empra un mot no llistat a la taula, concretament és el primer número que conté la lletra B. Tots els números inferiors a un bilió es poden construir a base de juxtaposar les paraules de la llista, afegint-hi en alguns casos el guionet.

Podem veure, per exemple que les lletres M i L, només apareixen a les paraules MIL i MILIO —aquí, com en els mots encreuats, prescindim de l’accent—; una altra lletra, la X, només surt dins SEIXANTA; la Z només en els nombres entre l’ONZE i el SETZE; la Q, a tots els que contenen QUATRE, QUINZE, QUARANTA o CINQUANTA. Cada lletra té la seva pròpia idiosincràsia, els números entre el DEU i el SETZE introdueixen una curiosa irregularitat lèxica en la seqüència que ens complica una mica el problema…

Les paraules que forment tots els números inferiors a un bilió

Els problema d’avui consisteix en trobar el número enter més petit que conté, al menys una vegada cadascuna, totes les lletres possibles —Excloent la B de bilió que no ens aportaria res a la qüestió—.
Com a problemes subsidiaris podem preguntar també:
Quin és el número més gran que no repeteix cap lletra?
Quin és el número més petit on cada lletra que hi surt, al menys ho fa dos cops?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

2: Triangle de diferències

Problema 2

Observem aquesta disposició triangular de fitxes numerades de l’1 al 10:

Triangle de diferències d’ordre 4, amb els números de l’1 al 10

Podem observar que cada fitxa té un valor numèric que és la diferència dels de les dues fitxes adjacents de la rengla superior. Diferència presa en valor absolut, sense tenir en compte el signe.

És possible construir un triangle similar de costat 5, amb fitxes —o boles de billar, per exemple— numerades de l’1 al 15?
I amb 21 fitxes formant un triangle de 6 de costat?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

1: Dómino i escacs

Problema 1

Les peces de dòmino, estan formades per dos quadrats adjacents.

Si aquests quadrats són de la mateixa mida que les caselles d’un tauler d’escacs —que són 64, exactament 8 × 8— és molt fàcil veure que hi podem col·locar precisament 32 dòminos.

Si ara posem els dos reis en les seves caselles inicials —e1 i e8—, ens en restaran 62 de lliures i podem comprovar a la fotografia que ara hi caben precisament 31 dòminos.

Suposarem aquí que cada dòmino cobreix exactament dues caselles.

Un tauler d’escacs amb 2 reis i 31 dòminos

El problema consisteix en saber quants dòminos podem col·locar en el tauler si els reis estan posats a les caselles del l’angle inferior dreta i a la del superior esquerra —h1 i a8 en la notació usual dels escacs—.

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★