23: La constant àuria amb una mentida

Problema 23

La constant àuria, anomenada també divina proporció, és la relació que guarden dues quantitats x i y si entre la seva suma i la més gran d’elles hi ha la mateixa relació que entre la gran i la petita. El seu valor numèric amb quinze decimals és: 1,618033988749895… s’acostuma a representar amb la lletra grega fi, (φ Φ) tant en minúscula com en majúscula.

φ és un número irracional, i com a tal té infinits decimals no periòdics. Les representacions amb un nombre limitat de decimals, s’entén que signifiquen el nombre exacte, amb infinits decimals.
Una manera de “construir” aquest número amb una calculadora és escriure 1,25 efectuar l’arrel quadrada i sumar-li 0,5
Els grecs, que van estudiar força el número, ho feien de manera geomètrica, i creien que un rectangle amb els costats en aquesta proporció —anomenat rectangle auri— era especialment estètic i l’empraven en alguns monuments. El símbol φ es va escollir en honor a Fídies —φειδίας— que la va emprar en les seves obres.
Actualment, una bona aproximació a un rectangle auri és una targeta de crèdit, mesuren aproximadament 53,6 × 85,4 mm i la proporció des seus dos costats s’aproxima a la constant àuria en un 98,5%.

Aproximació al rectangle auri a base de quadrats

Una altra manera d’aproximar-se a un rectangle auri és partir de dos quadrats iguals de mida unitat, —groc i violeta a la foto— i anar afegint en espiral, altres quadrats de mida igual al costat més gran del rectangle precedent. És fàcil veure que les mides dels successius quadrats seran: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… cadascun igual a la suma de les mides dels dos que l’han precedit. Aquesta sèrie numèrica, s’anomena la successió de Fibonacci i el quocient entre dos termes successius, no tan sols es va aproximant cada vegada més a φ, sinó que és la millor aproximació possible de un quocient de dos números inferiors o iguals a cadascun dels termes de la successió.

Numèricament, φ té algunes propietats úniques molt curioses.
φ² = φ + 1: 1,61803² = 2,61803
1/φ = φ – 1: 1/1,61803 = 0,61803
En ambdós casos els decimals del resultat —marcats en vermell— són els mateixos que els de la constant.

Podem veure que les dues expressions són, en definitiva, la mateixa expressió de segon grau: x² –  x – 1 = 0, que té per arrel positiva precisament φ (l’altre arrel és 1 – φ)

La parella de números φ i φ² tenen una propietat única molt curiosa: si prenem tots els múltiples de φ: 1,61803 3,23606 4,85410 6,47213 8,09016 9,70820 11,32623 12,94427… i també els múltiples de φ²: 2,61803 5,23606 7,85410 10,47213 13,09016… veiem que les seves parts enteres —marcades en vermell— són precisament tots els números naturals sense excepció.

Amb una calculadora partim del número 1 i anem repetint un cicle consistent en: invertir el resultat i sumar-li 1. El resultat s’anirà aproximant cada vegada més a φ. Invertir vol dir dividir 1 pel número en qüestió; si la calculadora no té la tecla retolada 1/x, en moltes calculadores es pot fer amb la combinació de tecles ÷ ÷ = =

Amb una calculadora, partim del número 1 i anem repetint un cicle consistent en: sumar 1 al resultat i efectuar l’arrel quadrada.El resultat s’anirà aproximant cada vegada més a φ.

Aquests dos darrers càlculs es poden expressar en dues fórmules infinites bastant senzilles, que només contenen el número 1, que ens donen també el valor de φ.

.

Dues fórmules infinites de φ

En geometria també surt força vegades la proporció àuria, especialment quan hi ha pel mig pentàgons regulars —també decàgons, dodecaedres i icosaedres regulars—.
.

La constant àuria al pentagrama (estrella de 5 puntes)

A la figura hi veiem en vermell alguns segments i les seves mesures relatives. Les llargades dels segments FJ AF AB i BD estan en progressió geomètrica de constant φ. Cal adonar-se també que el costat del pentàgon —AB o BC, per exemple— és igual als segments interiors tipus AG o AI.

Dodecaedre format per tres rectangles auris

En tres dimensions, si intersequem perpendicularment tres rectangles auris iguals  com a la figura, els seus 12 vèrtexs corresponen amb els 12 vèrtexs d’un icosaedre regular.

El problema que proposo aquí, consisteix en trobar una afirmació falsa en aquest article.

★★★ COMENTARIS ★★★

19: Fent camí

Problema 19

Són força coneguts els problemes topològics que demanen connectar amb línies, per exemple, diversos habitatges amb diversos serveis, de manera que les línies de subministrament no es creuin.

Sis parelles de peons a un tauler de 10×10

Aquí en proposo un de similar, unir cadascuna de les sis parelles de peons del mateix color amb una línia, amb la condició suplementària que els camins han de estar formats per un seguit de caselles adjacents del tauler, sense que de cap manera dos camins passin per la mateixa casella.
Si els camins els representem amb fitxes dels colors dels peons que anem posant a les caselles, com a pista puc dir que al final no queda cap casella lliure.
Trobeu els sis camins.

★★★ COMENTARIS ★★★

11: Circuit de diferents distàncies

Problema 11 

Sobre una quadrícula, en el nostre cas de rajoles, hem col·locat vint-i-vuit monedes.
Suposem que la quadrícula és exacta, amb una distància unitat entre dos encreuaments contigus i que les monedes estan exactament ben posades a les interseccions.

28 monedes sobre la quadrícula

Les distàncies en línia  recta entre dues monedes varien entre 1 i aproximadament 18,6 que és la distància entre les monedes extremes de la figura. Algunes monedes estan separades d’altres, distàncies que són exactament números enters.
Es tracta de trobar dotze monedes que formin un circuit tancat, de manera que les seves distàncies —en qualsevol ordre— siguin tots els valors enters compresos entre l’1 i el 12. Circuit tancat vol dir que de la dotzena moneda passem a la primera.
El circuit pot passar per damunt de l’emplaçament d’una moneda que no hi formi part.
La condició suplementària és que aquest circuit no tingui cap creuament, dit d’una altra manera, que no tingui una forma equiparable a un 8.

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

8: Un núvol de punts

Problema 8 

Marquem tres punts —X, Y i Z— que formin els vèrtexs d’un triangle equilàter.

Escollim ara un punt al atzar de l’interior d’aquest triangle, per exemple el que marquem amb el número 1 a la figura.

Els primers dotze punts de la figura

Aleshores escollim al atzar un dels tres punts inicials. En el nostre exemple Y. Marquem ara amb el número 2 el punt mig entre 1 i Y.

Continuem escollint al atzar qualsevol dels tres punts X, Y o Z, i anem marcant cada vegada el punt situat a mig camí entre el darrer punt i el vèrtex escollit.

En l’exemple de la figura la seqüència de vèrtexs és Y, Y X, Y, Z, Z, X, X, Y, Z, X… hi podem veure numerats els dotze primers punts. Insisteixo, és només un cas particular, la seqüència pot ser qualsevol al atzar i els punts aleshores serien uns altres.

Imaginem que continuem el procés fins col·locar uns quants milers de punts a la figura.

Nou possibles respostes al problema

A quina de les nou imatges s’assemblarà més el núvol de punts resultant d’aquest procés?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

6: El mapa dels quatre colors al cel

Problema 6

A mitjans del segle XIX un jove universitari britànic es va entretenir un dia acolorint el mapa dels comtats anglesos, de manera que dos que compartissin frontera mai no fossin del mateix color. Va aconseguir amb certa facilitat fer-ho amb només quatre colors, i també va veure que amb tres era impossible.

Aleshores es va preguntar si qualsevol mapa es podria acolorir d’aquesta manera amb només quatre colors. En tots els mapes que ho va provar, ho va aconseguir, però no va trobar cap sistema per demostrar-ho.

Un mapa acolorit amb quatre colors.

 El problema va arribar a les orelles dels matemàtics professionals —el primer que se’n va ocupar va ser Augustus de Morgan— que tampoc no van aconseguir la demostració.

Alguns avenços sí que es van fer: es va demostrar que no era possible que cinc regions compartissin frontera cadascuna amb les altres quatre, que amb cinc colors sempre era possible acolorir qualsevol mapa, que un mapa sobre una esfera era equivalent en aquest aspecte a qualsevol mapa pla, i fins i tot, que sobre d’altres superfícies el nombre de colors necessaris podia ser superior. Per exemple, sobre un tor —la figura en forma de pneumàtic— son possibles set regions que dos a dos comparteixin frontera i va ser possible demostrar que amb 7 colors és sempre possible acolorir qualsevol mapa pintat sobre aquesta superfície. Però l’esfera i el pla es resistien.

124 anys després es va demostrar, però no va ser una demostració “normal”, amb llapis i paper, sinó que va precisar un ordinador que comprovés totes i cadascuna d’uns milers de configuracions de regions, anomenades irreductibles, en les quals es pot transformar mantenint el problema, qualsevol configuració.
No ho hem esmentat, però quan aquí parlem d’un mapa dividit amb regions, volem dir un mapa simple: on cada zona estigui envoltada per una línia fronterera simple, no s’hi valen els “països” dividits en dues o més zones. També cal la condició que si més de tres regions conflueixen al mateix punt, es consideri que les que només entren en contacte en aquest punt, no són veïnes, o sigui que el veïnatge necessita compartir una línia, no tan sols un punt.

Dos mapes que precisen 5 colors

Sense aquestes condicions, poden caldre més de quatre colors per pintar un mapa.
Per exemple, al mapa de l'esquerra, imaginem que les dues zones blaves marcades A, són el mateix país; B, C i D hauran de ser de colors diferents ja que toquen A i també entre elles; però aleshores, E necessita un cinquè color, ja que té frontera comú amb A, B, C i D que ja són de quatre colors diferents.
En el mapa de la dreta, si consideréssim veïnes W i Y, i també X i Z, ja ens caldrien quatre colors per a aquestes zones; aleshores V, que les toca a totes, precisaria un cinquè color.
Aquests aclariments són necessaris pel problema que plantegem.
Fins a principis del segle XX, les constel·lacions van ser conjunts d’estrelles que d’una manera més o menys vaga recordaven un objecte, personatge o sovint animal. La seva representació, moltes vegades, incloïa superposat el dibuix corresponent coma a referència mnemotècnica, encara que més modernament es va substituir per unes poques línies representatives unint les estrelles més brillants.
Però a partir de 1930 es va anomenar constel·lació a una regió del cel, limitada per línies rectes que seguien els meridians i paral·les celestes i que incloïa l’antiga configuració d’estrelles.
Es van definir 88 constel·lacions que abasten tota la volta celeste. O sigui que qualsevol punt del cels està inclòs de manera unívoca en alguna de les 88 constel·lacions grans o petites i que es pot dibuixar un mapa del cel amb les fronteres de la mateixa manera que podem dibuixar un mapa del món amb els estats —prescindim ara dels mars—.

Les 88 constel·lacions del cel en projecció mercator (si surts per la dreta del mapa entres per l’esquerra)

Podem assegurar que aquest mapa es podrà acolorir amb quatre colors?

En principi no, perquè hi ha una anomalia, una de les constel·lacions —Serpens, marcada amb la vora groga— per motius històrics està dividida en dues zones. A més, posem la condició suplementària que als quatre punts —marcats en vermell— on conflueixen quatre constel·lacions, han de ser les quatre de colors diferents.

Podeu, amb aquestes condicions, acolorir el mapa del cel amb quatre colors?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

4: Seixanta-quatre igual a seixanta-cinc?

Problema 4

Observen aquest quadrat format per quatre peces. La quadrícula ens permet veure que la seva àrea és 8 × 8 = 64 unitats quadrades.

Quatre peces formen un quadrat de 8 × 8

A continuació, reordenem les peces —les dues trapezoïdals les hem de girar 90º— per formar un rectangle. Si ara mesurem l’àrea podem veure que és de 5 × 13 = 65 unitats quadrades.

Les mateixes quatre peces formen un rectangle de 5 × 13

D’on ha sortit el quadrat suplementari?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★