20: Manquen peces

Problema 20

El mètode inductiu consisteix en observar les propietats comunes a una sèrie de dades, obtenir una llei que les generi, i generalitzar a altres casos.

No és in mètode infal·lible, com ho podria ser el deductiu quan partim de d’observacions certes, sinó que sempre deixa la possibilitat que la llei amagada darrera les observacions sigui més complexa, que hi hagi excepcions que no hem vist o que les dades no siguin representatives de la totalitat del problema.

En el conjunt de peces de la il·lustració —només els fons de suro és una fotografia— hi manca potser alguna peça.

53 peces d’una determinada col·lecció

Esbrinar quantes i les seves formes es pot aconseguir pel mètode inductiu.
Primer cal estudiar propietats en comú de les peces observades, separar les rellevants de les circumstancials, a continuació descobrir una llei general que les descrigui i, finalment, generar totes les peces possibles amb aquesta llei i veure quines manquen a la imatge.
Naturalment que mai no podem estar segurs de què és el que hi manca, igual les peces són arbitràries, per exemple eren les que hi havia en una determinada caixa en la que més a més hi havia un dau i un peó d’escacs, mai no ho podríem esbrinar amb la informació disponible. Però no, aquí cal emprar la navalla d’Occam i trobar una regla senzilla i no arbitrària —que no deixen de ser criteris subjectius.
Trobeu com són la peça o peces mancants.

★★★ COMENTARIS ★★★

14: Jocs d’inducció

Problema 14

A finals dels anys cinquanta Robert Abbott va inventar un joc de cartes anomenat Eleusis. La idea bàsica era que cada jugador havia d’idear una regla i jugar les cartes amb conformitat amb ella; la resta de jugadors havien de descobrir aquesta regla.
El procés mental per jugar a aquest joc té molt a veure amb la inducció científica: a partir d’unes dades parcials deduir quina és la regla general que hi ha al darrera.
Sovint, examinant gràfics, diagrames, taules numèriques o qualsevol dels esborranys que he generat per crear o resoldre jocs matemàtics i que ja no recordo gaire de què anaven, m’he trobat en una situació similar al la del jugador d’eleusis, haver de deduir a partir del que veig quin era el problema, què són les dades que tinc al paper…
Cal, en ambdós casos, formular hipòtesis, desenvolupar-les i veure si són coherents amb el que estem estudiant. Sovint, n tenim ni idea ni tan sols de quin tema és la regla: pot ser des d’una qüestió del tot abstracta de les matemàtiques a quelcom a tenir que veure amb quelcom com el número de lletres d’una paraula.
Proposo aquí dos problemes d’aquest caire, un amb números i l’altre amb lletres:

Tres quadres númèrics amb diferents lògiques

Tenim aquí tres quadres amb els números naturals de l’1 al 25 ordenats dins d’ells de maneres diferents. En cada cas estan col·locats dins d’un quadrat de 5×5 amb lògiques completament diferents. Podeu explicar quines són les regles d’ordenació en cadascun dels casos? Puc remarcar aquí que a vegades, la lògica és única en el sentit que el que veiem és l’única solució a un problema concret, en altres casos és múltiple, les dades són simplement un dels casos que acompleixen una determinada regla.

Sis alfabets acolorits seguint diverses regles

Aquí veiem sis conjunts de lletres ordenades alfabèticament, en una tipografia concreta i en majúscules. En cada cas, les lletres estan pintades de colors seguint regles diferents. Cal esbrinar quines són aquestes regles d’acoloriment.

★★★ COMENTARIS ★★★

9: Tangrams amb trampa

Problema 9

El tangram és un trencaclosques d’origen xinès —aquest sí, n’hi ha molts d’altres que s’han venut com a xinesos que no ho són—, que consisteix en set peces amb les quals es poden formar diverses figures.
En particular poden formar un quadrat, i d’una sola manera, llevat de girs i simetries.

Els set tangrams dins una caixa, en la seva configuració quadrada

 Sovint el trencaclosques consisteix a reproduir amb les peces una forma que representa d’una manera més o menys fidel un ésser viu o un objecte, però aquí ens interessarem més per les formes geomètriques.
A diferència d’altres trencaclosques com per exemple els pentominós, els tangrams són arbitraris: no són totes les formes que gaudeixen d’una determinada propietat sinó un conjunt escollit per altres motius, des de la facilitat de construcció al fet de poder-se empaquetar en forma de quadrat.
Cinc dels tangrams són triangles, dos de grans un de mitjà i dos de petits, una altre un quadrat, i el darrer un romboide, que és l’única peça que no és igual a ella mateixa si la posem cap per avall, té dues orientacions. Totes les peces són múltiples del triangle més petit: el triangle mitjà, el quadrat i el romboide es poden formar amb dos triangles petits, i els triangles grossos amb quatre. L’àrea total és igual a setze triangles petits.
Alguns trencaclosques poden ser força difícils, per exemple, construir tos els pentàgons possibles amb les set peces: n’hi ha 53 de diferents, dos d’ells convexes, i 51 còncaus.
El problema que proposo aquí és molt més fàcil però té trampa…

Dotze configuracions amb una determinada propietat

A la figura hi podem veure 12 configuracions de tangrams que tenen una propietat en comú. No són totes les possibles, en falta alguna.

Tres possibles solucions

 A la presumpta solució veiem tres possibles configuracions més que podrien ser les que ens manquen, però hi ha gat amagat, no és la solució vàlida.
Quina és la propietat en comú?
Quines són les configuracions que manquen?
Per què no són bones les tres solucions de la segona figura, on és la trampa?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ SOLUCIÓ ★★★

7: Un text xifrat

Problema 7 

La criptografia és la tècnica —o art— de transformar un missatge en un seguit de signes que si són interceptats sigui difícil, o fins i tot impossible, esbrinar el missatge original.

Durant molts segles es van emprar mètodes que amb les tècniques modernes serien molt fàcils de desxifrar. Fins i tot durant la II Guerra Mundial, el mètode de xifratge del Reich alemany que emprava unes màquines anomenades “Enigma” i que només va ser trencat emprant una gran quantitat de mitjans humans i tècnics, seria molt fàcil de trencar amb els ordinadors actuals.

El mètode més antic que es coneix rep el nom de Juli Cèsar, que segurament el va emprar. Consisteix en substituir cada lletra del alfabet  per la lletra que hi ha n posicions més endavant, continuant comptant a partir de la A, si arribem al final del alfabet. Per exemple, si fem servir n = 4, la A es convertirà en E, i la X en B. És un mètode molt fàcil de desxifrar, i si Juli Cèsar el va emprar amb èxit, segurament va ser perquè el seus enemics gairebé no sabien llegir.

Un mètode quasi tan elemental com aquest, és el de substituir cada lletra per un dibuixet diferent. Aquí cal esbrinar a quina lletra correspon cada signe. Recordo haver vist fer servir aquest sistema entre els nois de l’escola…

Si, a més es mantenen els espais entre les paraules o els signes de puntuació, encara és més fàcil ja que paraules d’una o dues lletres n’hi ha poques.

Però aquí, per complicar-ho una mica, farem com Juli Cèsar, que com tots els romans escrivia sense espais; en el text els he suprimit, com també accents i altres signes de puntuació. Els signes estan disposats en grups de cinc, senzillament per llegibilitat.

Text xifrat, sense espais però en grups de 5 caràcters per facilitar la lectura

Podeu desxifrar aquest text? I encara que no tingui res a veure amb la criptografia, esbrinar —és fàcil— qui és el seu autor?

★★★ COMENTARIS ★★★

★★★ PISTES ★★★