dimecres, 2 de març de 2011

16: El misteri del número 37

Problema 16
Quan tenia 8 anys, a la contracoberta de color lila d’un quadern de cal·ligrafia, hi vaig trobar una digressió que un anònim, i lloable, dissenyador hi havia afegit per entretenir els nens.
Demanava d’escriure dues vegades seguides un número de tres xifres —en un paper, clar, encara no hi havia calculadores de butxaca—.
Aleshores s’havia de dividir per 7.
I sorpresa, la divisió era “exacta” no quedava residu.
A continuació el resultat s’havia de dividir per 11.
El resultat també era exacte!
I ara, s’havia de dividir aquest resultat per 13.
Novament, i a la tercera al menys jo ja m’ho esperava, la divisió tornava a ser exacta. I més: el resultat era el número de tres xifres inicial.

Divisions per 7, 11 i 13

Funcionava per qualsevol número de tres xifres, ho vaig comprovar amb uns quants abans de preguntar-me el perquè.
No va ser difícil, de seguida em vaig adonar que dividir per 7, desprès per 11 i a continuació per 13, era el mateix que dividir per 7 × 11 × 13. Vaig efectuar la multiplicació i el resultat és 1001, un número “curiós”, capicua i amb només dues xifres. El contrari de dividir és multiplicar, vaig multiplicar per 1001 un número de tres xifres, i immediatament vaig veure que el resultat era escriure’l dues vegades seguides.
Havia resolt el misteri., però quan ho vaig explicar tot content, ni companys, ni mestres ni pares es van impressionar gaire…


Molts anys més tard, amb una calculadora programable, vaig trobar una qüestió d’alguna manera relacionada amb l’antiga facècia.
Havia escrit un programa per descompondre un número en factors primers, i naturalment el vaig provar amb números més o menys a l’atzar.
No recordo ja amb quin va ser que ho vaig veure, vaig escriure un número del tipus 123654, tot fent un circuit per les tecles de la calculadora, el resultat va ser: 2 × 3 × 37 × 557
Tot normal. Al cap d’una estona vaig tornar a provar un altre número d’un “circuit”, per exemple 258741. Resultat: 3³ × 7 × 37²
I un tercer, posem que fóra 789654. Ara la descomposició és: 2 × 3 × 37 × 3557
Que surti sovint el factor 2 o 3 és normal, hi ha un percentatge elevat de números que en són múltiples. Però la persistència del 37 era intrigant.
Tot fent més proves, vaig veure que escrivint els números anteriors a l’inrevés, també hi sortia el curiós factor 37:
456321 = 3 × 37 × 4111
147852 = 2² × 3³ × 37²
456987 = 3 × 23 × 37 × 179
I cíclicament, començant per qualsevol de les xifres del número i en qualsevol sentit, els nombres de sis xifres resultants sempre eren múltiples de 37.
365412 = 2² × 3 × 37 × 823
541236 = 2² × 3 × 23 × 37 × 53
I no només sortia el persistent factor 37 amb els circuits de dues files o dues  columnes del quadrat de tecles 1 al 9 de la calculadora, hi havia altres circuits 6 xifres que també generaven sempre múltiples de 37. En qualsevol sentit, començant per qualsevol xifra.

Alguns dels circuits que generen múltiples de 37
Molts! També circuits que inclouen el zero: per exemple 736041 que val 3 × 19 × 37 × 349; ara en sentit contrari començant per una altra xifra: 406371 = 3 × 7 × 37 × 523.
No hi ha cap altre grup de circuits de sis xifres que generi quantitats sempre múltiples d’un número de la mida del 37. Sí que és fàcil fer que siguin múltiples de 3 o de 9, senzillament cal que la suma de les xifres del circuit sigui precisament múltiple de 3 o de 9, però això és força trivial i sense gaire interès.
Què té despecial el número 37?
Què tenen en comú tots aquests circuits que en generen múltiples de 37?

★★★ COMENTARIS ★★★