diumenge, 20 de març de 2011

23: La constant àuria amb una mentida



Problema 23
La constant àuria, anomenada també divina proporció, és la relació que guarden dues quantitats x i y si entre la seva suma i la més gran d’elles hi ha la mateixa relació que entre la gran i la petita. El seu valor numèric amb quinze decimals és: 1,618033988749895… s’acostuma a representar amb la lletra grega fi, (φ Φ) tant en minúscula com en majúscula.
φ és un número irracional, i com a tal té infinits decimals no periòdics. Les representacions amb un nombre limitat de decimals, s’entén que signifiquen el nombre exacte, amb infinits decimals.
Una manera de “construir” aquest número amb una calculadora és escriure 1,25 efectuar l’arrel quadrada i sumar-li 0,5
Els grecs, que van estudiar força el número, ho feien de manera geomètrica, i creien que un rectangle amb els costats en aquesta proporció —anomenat rectangle auri— era especialment estètic i l’empraven en alguns monuments. El símbol φ es va escollir en honor a Fídies —φειδίας— que la va emprar en les seves obres.
Actualment, una bona aproximació a un rectangle auri és una targeta de crèdit, mesuren aproximadament 53,6 × 85,4 mm i la proporció des seus dos costats s’aproxima a la constant àuria en un 98,5%.

Aproximació al rectangle auri a base de quadrats
Una altra manera d’aproximar-se a un rectangle auri és partir de dos quadrats iguals de mida unitat, —groc i violeta a la foto— i anar afegint en espiral, altres quadrats de mida igual al costat més gran del rectangle precedent. És fàcil veure que les mides dels successius quadrats seran: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… cadascun igual a la suma de les mides dels dos que l’han precedit. Aquesta sèrie numèrica, s’anomena la successió de Fibonacci i el quocient entre dos termes successius, no tan sols es va aproximant cada vegada més a φ, sinó que és la millor aproximació possible de un quocient de dos números inferiors o iguals a cadascun dels termes de la successió.
Numèricament, φ té algunes propietats úniques molt curioses.
φ² = φ + 1: 1,61803² = 2,61803
1/φ = φ – 1: 1/1,61803 = 0,61803
En ambdós casos els decimals del resultat —marcats en vermell— són els mateixos que els de la constant.
Podem veure que les dues expressions són, en definitiva, la mateixa expressió de segon grau: x² –  x – 1 = 0, que té per arrel positiva precisament φ (l’altre arrel és 1 – φ)
La parella de números φ i φ² tenen una propietat única molt curiosa: si prenem tots els múltiples de φ: 1,61803 3,23606 4,85410 6,47213 8,09016 9,70820 11,32623 12,94427… i també els múltiples de φ²: 2,61803 5,23606 7,85410 10,47213 13,09016… veiem que les seves parts enteres —marcades en vermell— són precisament tots els números naturals sense excepció.
Amb una calculadora partim del número 1 i anem repetint un cicle consistent en: invertir el resultat i sumar-li 1. El resultat s’anirà aproximant cada vegada més a φ. Invertir vol dir dividir 1 pel número en qüestió; si la calculadora no té la tecla retolada 1/x, en moltes calculadores es pot fer amb la combinació de tecles ÷ ÷ = =
Amb una calculadora, partim del número 1 i anem repetint un cicle consistent en: sumar 1 al resultat i efectuar l’arrel quadrada.El resultat s’anirà aproximant cada vegada més a φ.
Aquests dos darrers càlculs es poden expressar en dues fórmules infinites bastant senzilles, que només contenen el número 1, que ens donen també el valor de φ.
.
Dues fórmules infinites de φ
En geometria també surt força vegades la proporció àuria, especialment quan hi ha pel mig pentàgons regulars —també decàgons, dodecaedres i icosaedres regulars—.
.

La constant àuria al pentagrama (estrella de 5 puntes)
A la figura hi veiem en vermell alguns segments i les seves mesures relatives. Les llargades dels segments FJ AF AB i BD estan en progressió geomètrica de constant φ. Cal adonar-se també que el costat del pentàgon —AB o BC, per exemple— és igual als segments interiors tipus AG o AI.

Dodecaedre format per tres rectangles auris
En tres dimensions, si intersequem perpendicularment tres rectangles auris iguals  com a la figura, els seus 12 vèrtexs corresponen amb els 12 vèrtexs d’un icosaedre regular.
El problema que proposo aquí, consisteix en trobar una afirmació falsa en aquest article.

★★★ COMENTARIS ★★★