dimarts, 8 de març de 2011

18: En català i màgic

Problema 18

Fixem-nos en la figura següent:

L’únic quadrat màgic de 3×3
És el que s’anomena un quadrat màgic, una disposició quadrada de números, en aquest cas 3×3, en la qual totes les files columnes o diagonals sumen el mateix, en aquest cas 15.
Aquest és l’únic quadrat màgic perfecte d’ordre 3, en el sentit que dos quadrats que es poden transformar l’un en l’altre mitjançant girs o simetries els considerem el mateix. Perfecte vol dir format pels nombres naturals consecutius a partir de l’1 i fins a l’ordre al quadrat, en aquest cas 9. Si augmentem l’ordre augmenta molt el nombre de quadrats màgics perfectes, d’orde 4 n’hi ha 880, i de 5×5 exactament 275.305.224.
És fàcil veure que no n’hi pot haver d’ordre 2, i d’ordre 6 es calcula que n’hi ha uns 1,77·10¹⁹
Si suprimim la condició que els nombres  siguin consecutius, òbviament, encara n’hi ha més. Per exemple es poden construir quadrats màgics formats per nombres primers, o també que tots els nombres siguin quadrats, encara que això no se n’ha aconseguit amb quadrats d’ordre 3, però tampoc s’ha demostrat que sigui impossible.
Un quadrat màgic famós és troba a la façana de la passió de la Sagrada Família de Barcelona, obra de Josep Maria Subirachs:

Quadrat màgic de 4×4 a la Sagrada Família
És de 4×4 i no està format per números consecutius, ja que repeteix 10 i el 14 i hi manca el 12, el motiu és que Subirachs volia que la seva suma fos 33.
Ara, fixem-nos en el quadre de la següent il·lustració:

Quadrat alfamàgic en anglès
Aquí, si mirem els números grans en vermell, veurem que formen un quadrat màgic amb suma 45.
Però n’hi ha molt més, si escrivim aquests números en anglès, i comptem les lletres que té cadascun d’ells —són les que surten en groc a cada quadre— veurem que també formen un quadrat màgic —sí, amb repeticions però aquí no ens importa gaire— amb suma 21.
És el que s’anomena un quadrat doblement màgic o alfamàgic.
Naturalment que és dependent de la llengua en la que escrivim els números.
El problema que proposo és construir un quadrat alfamàgic en català.
Per no complicar la recerca, emprarem només la forma un enlloc de u, i dos en lloc del femení dues. Tampoc —de la mateixa manera que es fa en anglès— no comptarem com a lletra el guionet.
Per ajudar una mica incloc una taula amb les llargades dels números fins al 100.

Taula de llargada dels números en català fins al 100
Trobar un quadrat així té una certa dificultat, però hi ha un problema més difícil que és trobar el quadrat alfamàgic en català que tingui la menor constant possible. Puc dir aquí que la dificultat rau en que és molt fàcil partir d’una hipòtesi infundada però que sembla evident, que fa que no trobem precisament el quadrat mínim.
No hi ha trampa, la solució és un quadrat format per números enters diferents  més grans que zero.
Acabem amb una pregunta fàcil no relacionada amb quadrats màgics: quin és el número català, inferior al milió, amb més lletres?

★★★ COMENTARIS ★★★